实验2.6 麦克斯韦滚摆

【演示目的】

（1）通过滚摆的滚动运动演示机械能守恒；

（2）演示滚摆的平动动能、转动动能与重力势能之间的转化。

【实验装置】

图2.6-1麦克斯韦滚摆

【演示原理】

麦克斯韦滚摆如图2.6.1所示，当捻动滚摆的轴，使滚摆上升到顶点时，储蓄一定的势能。当滚摆被松开，开始旋转下降，滚摆势能随之逐渐减小，而动能（平动动能和转动动能）逐渐增加。当悬线完全松开，滚摆不再下降时，转动角速度与下降平动速度达到最大值，动能最大。由于滚摆仍继续旋转，它又开始缠绕悬线使滚摆上升。在滚摆上升的过程中动能逐渐减小，势能却逐渐增加，上升到跟原来差不多的高度时，动能为零，而势能最大。如果没有任何阻力，滚摆每次上升的高度都相同，说明滚摆的势能和动能在相互转化过程中，机械能的总量保持不变。

麦克斯韦滚摆的简易版就是现在很多小孩玩的溜溜球。

1.力学分析（对大学生）

重力作用下滚摆的运动是滚摆质心的平动与滚摆绕质心转动的合运动。如果不计空气阻力，滚摆在运动过程中机械能守恒。在任-时刻,滚摆的总动能等于质心的平动动能和绕质心转动的动能之和，即

                 (2.6.1)

式中J是滚摆对通过质心且与摆平面垂直的转轴的转动惯量。

图2.6.2麦克斯韦滚摆受力分析

本实验中,滚摆的受力情况如图2.6.2所示，图中r是轴的半径，T是绳对滚摆的拉力，mg是滚摆受到的重力，由质心运动定律和转动定律可得

                         (2.6.2)

式中a_c为质心的加速度，β为绕质心特动的角加建度，由此可解出

                              (2.6.3)

若滚摆从静止开始下降，经过时间t，其下降的高度为

                                       (2.6.4)

质心的平动动能为

                  (2.6.5)

绕质心的转动动能为

                    (2.6.6)

显然满足

                                 (2.6.7)

上式表明，滚摆在下降过程中，减少的重力势能转变成了质心的平动动能与绕质心的转动动能之和，即滚摆在运动中机械能守恒。

我们分析一下实验中滚摆平动动能与转动动能的分配。转轴的半径r远小于摆轮的半径R，且摆轮的质量主要分布于摆轮的边缘，所以有J>>mr²，从而有E_kt<<E_kv，即滚摆质心的平动动能很小。再来看看滚摆质心速度与摆轮边缘转动线速度的比值

                                        (2.6.8)

所以它给人视觉上的感受是转轴平移很慢，而摆轮转得很快。正是这点让儿童玩溜溜球觉得有趣。

当滚摆下降到最低点时，摆轮的转动动能达到最大值，然后由于转动的惯性，滚摆开始反向卷绕挂绳，把下落过程中获取的平动动能和转动动能转化为重力势能，轮的转速逐渐减小，质心位置升高，重力势能增大。即到了最低点以后，滚摆的动能反过来转换为重力势能，直至到达最高位置。然后滚摆在重力作用下降……如此反复。

2.进一步分析

我认为，最初设计麦克斯韦滚摆这种结构的时候，发明人想到的是减少平动动能在动能里面的占比，把势能尽可能多地变成转动动能，再让转动动能转化为势能。因为在滚摆下落到最低点的时候，质心速度反向会损失部分能量。其实发明人当初没有料到结构设计的简单与精妙让这种担心成为多余，见图2.6.3。

图2.6.3滚摆在最低点的运动特征

滚摆在下落接近最低点时，悬线略做倾斜。悬线拉力将原先质心向下的速度改变方向，直到最低点速度显现水平，其时平动动能和转动动能到达最大值，没有发生能量的损耗；其后发生的与降落过程正好相反，平动动能和转动动能还原为重力势能，我们就不再讨论了。

在这个过程中，滚摆在理论上是能回复到释放点的。但我们的模型是基于忽略空气阻力、轻质弹性细线，也没有考虑转轴系绳点在技术上会发生移动摩擦。如果适当地处理，系绳点的移动是可能减少到极值的；但空气阻力没法克服，它带来一部分能量的损耗，还有非绝对刚性的细绳也会引发一部分能量损耗；还得考虑细绳质量在其中消耗的能量。至于何种因素在里面起着主导性作用，是我们送给读者的问题，算是我们送去额外的礼物。

麦克斯韦滚摆是一个精巧的实验装置，它之所以美妙，是因为它简单。简单总是最美的，可能是编者的一种偏执。

【实验操作及演示现象】

1.将滚摆轴保持水平，均匀使悬线饶在轴上，待滚摆到达一定高度，放手使其平稳下落。

2.将挂绳绕在麦克斯韦轮的轴上,直到轮上升到顶部,使轮在挂绳悬点的正下方。撒手释放,在重力作用下,重力势能转化为轮的转动动能。轮下降到最低点,轮的转速最大,转动动能最大;然后又反向卷绕挂绳,转动动能转化为重力势能,轮的转速减小,位置升高。如此可多次重复。

【注意事项】

要尽量使滚摆平稳地上下运动，不能有前后摆动或扭动现象。

【思考题】

1．试分析麦克斯韦滚摆下落到接近最低时滚摆的动力学过程。

2．如何用简便方法测量一个物体在空气平移运动的阻力和转动阻力？

3.如果滚摆上升到释放点高度差别在3%，也就是说往返一次损失了3%的重力势能。按此推论下去，得20多次往返，滚摆高度还能达到原先一半的高度。但实际发生的不是如此，滚摆没有往返那么多次，甚至停止了运动。它发生了什么？

4.要是我们把滚摆的运动也看成一个周期性运动，它还是一个欠阻尼周期运动。按照这个思路，请分析一下滚摆的运动。